8年級(jí)6班  魯浩翔

      在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，許多問題不能僅僅用一種思維去思考。當(dāng)你用不同的方式去分析同一個(gè)問題時(shí)，你會(huì)有不同的見解，并從中獲得無(wú)窮的樂趣。

      下面僅舉一例說明多角度考慮問題的重要性。

      已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。

      此題的一般思路是：任何多邊形的外角和都為360°，內(nèi)角和是外角和的4倍，則此多邊形的內(nèi)角和是4×360°。又n邊形的內(nèi)角和為（n-2）×180°，由此可得方程（n-2）×180°=4×360°，解得n=10.

這個(gè)問題還有其它思考方式

      （1）整體思考。由于過同一個(gè)頂點(diǎn)的內(nèi)角與外角之和為一個(gè)平角，所以，多邊形有多少條邊，就有多少個(gè)這樣的平角，由已知可知內(nèi)角和是外角和的四倍，而外角和是兩個(gè)平角，因此內(nèi)角和是8個(gè)平角，這樣內(nèi)外角的和就是10個(gè)平角，因此，多邊形的邊數(shù)就是10。

      算式為：2+2×4=10，也可以1800/180=10

      （2）特殊思考。由于所求的問題是多邊形的邊數(shù)，題目的已知條件中并沒有對(duì)多邊形的形狀進(jìn)行限制，所以該問題應(yīng)該與多邊形的形狀無(wú)關(guān)，因此取特殊形狀的多邊形進(jìn)行計(jì)算，得到的結(jié)果就是一般情況的結(jié)論，因此有如下思考。

      假設(shè)所求多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，則每個(gè)外角也都相等，由于內(nèi)角和是外角和的4倍，所以，每個(gè)每個(gè)內(nèi)角是每個(gè)外角的4倍，又因?yàn)檫^同一頂點(diǎn)的內(nèi)外角之和等于一個(gè)平角，所以每一個(gè)外角是平角的五分之一，而外角和為兩個(gè)平角，所以必有2÷（1/5）=10.

      (3)利用過一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線劃分的三角形個(gè)數(shù)考慮

多邊形的內(nèi)角和等于用過一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線劃分的三角形的個(gè)數(shù)來表示，有一個(gè)三角形，內(nèi)角和就包含一個(gè)平角，由于已知內(nèi)角和為外角和的4倍，則內(nèi)角和一定是8個(gè)平角，由上面的分析可知，過一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線必將把多邊形分成8個(gè)三角形，要分成8個(gè)三角形，他的頂點(diǎn)數(shù)必為10，所以所求的多邊形為10邊形。

      （4）對(duì)多邊形進(jìn)行利用等內(nèi)角和變形，變形后的頂點(diǎn)認(rèn)為原多邊形的頂點(diǎn)，而其他變都到了變形后多邊形的邊上，這樣有幾個(gè)邊在變形后的邊上，就對(duì)應(yīng)多少個(gè)平角。

      （5）更為特殊的是把n邊形轉(zhuǎn)化為一條線段，使線段的兩個(gè)端點(diǎn)為多邊形的兩個(gè)端點(diǎn)，這樣這兩個(gè)端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的內(nèi)角均為0°，而其它（n-2）個(gè)點(diǎn)均“跑到”線段的內(nèi)部，每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的內(nèi)角均為一個(gè)平角，由已知，多邊形的內(nèi)角和為8個(gè)平角，所以西安段內(nèi)必有八個(gè)點(diǎn)，所以多邊形為10邊形。

      利用這種思想，若知道多邊形的內(nèi)角和，就可以求出它的頂點(diǎn)數(shù)，今兒可求多邊形的邊數(shù)。由題意知該多邊形的內(nèi)角和為8個(gè)平角，也可以認(rèn)為4個(gè)平角。把原多邊形變形為三角形，則三角形的三個(gè)內(nèi)角和為一個(gè)平角，這樣還有7個(gè)平角，因此必須有7個(gè)頂點(diǎn)被拉到了邊上，因此所求多邊形的邊數(shù)為3+7=10（邊形）；同樣的思想，還可以把多邊形拉成長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的內(nèi)角和為2個(gè)平角，由題意知還有6個(gè)平角的內(nèi)角，所以應(yīng)有6個(gè)頂點(diǎn)被拉到了邊上，所以多邊形的邊數(shù)為4+6=10。

      （李守峰：上述第一類思考是魯浩翔在周考的試卷上反映出來的，因?yàn)樗倪@種解法被扣了4分（否則他就是全卷滿分），在我講評(píng)試卷的時(shí)候，他直接問我，老師我這道題錯(cuò)在哪里？當(dāng)時(shí)我被問的啞口無(wú)言，說不對(duì)，結(jié)果又安全正確，說不錯(cuò)，又有點(diǎn)湊數(shù)的感覺。作為老教師，我當(dāng)時(shí)機(jī)靈一動(dòng)，這個(gè)問題咱下課在研究，請(qǐng)我先把其它問題講完。就這樣把問題拋到了課后。

      課后反思：該同學(xué)的思維非常好，其獨(dú)特的解法讓我耳目一新，該同學(xué)為什么有這樣開放的想法，我想有以下幾點(diǎn)。（1）該同學(xué)具有良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，凡是肯鉆研，在我剛開始帶他課的時(shí)候，他曾經(jīng)告訴我，他不會(huì)的問題在網(wǎng)上搜答案，然后研究。一開始，他還認(rèn)為我要批評(píng)。可我一聽，不但沒有批評(píng)，反而大加表?yè)P(yáng)。網(wǎng)絡(luò)是最好的老師，如果把上網(wǎng)用在學(xué)習(xí)上，學(xué)生掌握知識(shí)的寬度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于教師的傳授！因此，好多同學(xué)樂于上網(wǎng)，樂于查找問題的答案。其次魯浩翔同學(xué)興趣廣泛，不拘泥于現(xiàn)成的死記硬背，凡是總想從多角度思考，以尋求解決問題的多個(gè)渠道，因此才有如此發(fā)散思維。第三，學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)需要老師的引導(dǎo)，這就要求我們?cè)谥v授知識(shí)的過程中，不要刻意強(qiáng)調(diào)解題規(guī)范，更不要對(duì)問題進(jìn)行過分的歸納，否則學(xué)生的思維將會(huì)完全限在老師的套套當(dāng)中，學(xué)生一旦見到了老師總結(jié)過的問題，就非常輕松簡(jiǎn)單的得出教師所期望的結(jié)果，甚至還會(huì)為學(xué)生的嚴(yán)密邏輯而高興，其實(shí)，學(xué)生已經(jīng)成了做題的機(jī)器。一旦遇到生僻的問題，學(xué)生就會(huì)驚慌失措，從而喪失獨(dú)立思考的品質(zhì)。相反，少給學(xué)生一些條條框框，讓學(xué)生在自己的思維天空中去領(lǐng)會(huì)，去感悟，這樣取得的知識(shí)才是靈動(dòng)的！第四，發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新火苗，立即點(diǎn)燃火把。當(dāng)我發(fā)現(xiàn)學(xué)生的良好思路時(shí)，大加表?yè)P(yáng)，一方面鼓勵(lì)個(gè)人，更多的是借此鼓勵(lì)大家。順勢(shì)而行，因勢(shì)利導(dǎo)，我又讓他繼續(xù)深入思考，總結(jié)提升。

      特別使我欣慰的是沂州實(shí)驗(yàn)的課堂正在發(fā)生著深刻的變革，主題學(xué)習(xí)、小組合作、選課走班等都在培養(yǎng)學(xué)生的能力方面進(jìn)行努力的探索，魯浩翔僅僅是眾多優(yōu)秀學(xué)生的代表。因?yàn)闆]有事先集中老師當(dāng)中的素材，所以才僅有此例。